David, un collègue enseignant, a posté un tweet sur l’utilisation du mode de représentation Truth sur les anciennes calculatrices HP 48G. Voici son premier résultat, le tapis de Sierpinski :

Avec cette équation très courte :

Quelques explications : R→B permet de convertir un nombre en binaire. Pour chaque abscisse X (entre 0 et 63) et chaque Y (entre 0 et 63), on regarde s’ils ont au moins un bit en commun dans leurs écritures binaires respectives. Par exemple si X = 12 = 1100b et Y = 6 = 110b ont un bit en commun à la 3e position, on affiche dans ce cas un pixel noir à l’écran.

A partir de là j’ai trouvé la page Binary Plot du site Wollfram avec quelques visuels que j’ai voulu reproduire en Python.

from kandinsky import *

for y in range(30):
 n = 2 ** y
 for x in range(160):
    for i in range(3): 
     if x ** (i + 1) & n > 0:
       fill_rect(2 * x, 214 - 63 * i - 4 * y, 2, 4, (0, 0, 0))

En Python il est très simple de faire des opérations bit à bit. Pour le “ET” on utilise &. Par exemple :

Pour le “OU” le symbole est |. Par exemple 12 | 6 = 14 car 1100b | 110b = 1110b

Et le “OU EXCLUSIF” par ^. Par exemple 12 ^ 6 = 10 car 1100b ^110b = 1010b

Passons à la représentation des coefficients binomiaux :

Les scripts (bibliothèque PIL et NUMWORKS) sont ici.

En bas à gauche les coefficients (écrits en binaires) qui apparaissent dans les développements de (a+b)^0, (a+b)^1, (a+b)^3 etc.

Quelques formes amusantes apparaissent !

On peut également représenter la suite de Fibonacci :

Les scripts sont ici.

Enfin, l’idée m’est venue de représenter la conjecture de Syracuse (on part d’un entier, s’il est pair on le divise par 2 sinon on le multiplie par 3 et on ajoute 1, la conjecture prétend que l’on arrivera à 1 au bout d’un certain temps). Avec N = 27 comme départ on arrive à 1 au bout de 111 itérations (appelé temps de vol) et le maximum atteint est 9232.

Représentons les termes de la suite sous forme binaire :

Il est alors assez facile de lire la valeur exacte de chacune des colonnes, par exemple du maximum. Il suffit de repérer les numéros de lignes (En bas = 0). Sur le visuel on lit les lignes 4, 10 et 13. Le nombre correspondant est donc 2^4 + 2^10 + 2^13 = 9232.

Autres exemples

Script NUMWORKS pour les “spirales”

from kandinsky import *

def tapis(x, y):
  while x > 0 and y > 0:
    if x % 3 == 1 and y % 3 == 1: return 0
    x //= 3
    y //= 3
  return 1  

for y in range(222):
  for x in range(320):
    if tapis(x, y): set_pixel(x, 221 - y, (0,) * 3)

@ Adaptation d'un script de David Cobac pour HP-48

« 3 PICK 3 MOD » 'MOD3 STO
« 3 / IP SWAP » 'IP3 STO
{ (0 0) (130 63) X 0 (0 0) TRUTH Y } 'PPAR STO

« X Y 
WHILE DUP2 *
 MOD3 MOD3 *
 1 ≠ *
REPEAT
 IP3 IP3
END
* NOT » 'EQ STO

« ERASE DRAW {} PVIEW » 'TAP STO

Lancez TAP


Version 2 :

« X Y 
WHILE DUP2 DUP2
 3 MOD SWAP 3 MOD
 * 1 ≠ * *
REPEAT
 3 / IP SWAP 3 / IP
END
* NOT »