{"id":834,"date":"2022-09-02T08:31:35","date_gmt":"2022-09-02T07:31:35","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.univ-angers.fr\/mathsinfo\/?page_id=834"},"modified":"2022-11-06T17:58:05","modified_gmt":"2022-11-06T16:58:05","slug":"exercices-autour-des-pyramides","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blog.univ-angers.fr\/mathsinfo\/exercices-autour-des-pyramides\/","title":{"rendered":"Exercices autour des pyramides"},"content":{"rendered":"\n

A t\u00e9l\u00e9charger : Enonc\u00e9 et corrig\u00e9 au format Word<\/a><\/p>\n\n\n\n

Exercice 1 – Pyramide et nombre d’or<\/h2>\n\n\n\n

Ci-dessous un carr\u00e9<\/strong> de c\u00f4t\u00e9 AB = 1<\/strong>. On ajoute 4 triangles<\/strong> isoc\u00e8les de hauteur CD<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/a>
Une base carr\u00e9e et 4 triangles isoc\u00e8les<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Q1.<\/strong> Trouvez la longueur CD<\/strong> telle que l\u2019aire totale des 4 triangles soit \u00e9gale au nombre d\u2019or \ud835\udf19 <\/p>\n\n\n\n

Le nombre d\u2019or<\/strong> vaut : <\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/a><\/figure><\/div>\n\n\n\n

Q2.<\/strong> En d\u00e9duire la hauteur \u210e de la pyramide que l\u2019on obtient :<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/a><\/figure><\/div>\n\n\n\n

Application num\u00e9rique : <\/p>\n\n\n\n

Voici les caract\u00e9ristiques de la pyramide de Kh\u00e9ops<\/strong> (sur le plateau de Gizeh<\/strong>, en \u00c9gypte<\/strong>) :<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/a><\/figure><\/div>\n\n\n\n

Q3.<\/strong> Calculez la longueur moyenne m<\/strong> des 4 c\u00f4t\u00e9s de la base de la pyramide de Kh\u00e9ops.<\/p>\n\n\n\n

On suppose maintenant que AB<\/strong> est \u00e9gale \u00e0 la longueur moyenne m<\/strong> trouv\u00e9e \u00e0 la question 3<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Q4.<\/strong> Quelle hauteur h<\/em><\/strong> doit avoir la pyramide pour que le quotient<\/strong> de l\u2019aire visible (les 4 triangles<\/strong>) par<\/strong> l\u2019aire invisible (la base carr\u00e9e<\/strong>) soit \u00e9gale<\/strong> au nombre d\u2019or <\/strong>?<\/p>\n\n\n\n

Q5.<\/strong> Calculez en pourcentage l\u2019erreur relative entre la hauteur h<\/em><\/strong> trouv\u00e9e \u00e0 la question 4<\/strong> et la hauteur r\u00e9elle 146,60 m<\/p>\n\n\n\n

On appelle erreur relative la quantit\u00e9 : (valeur_approch\u00e9e – valeur_r\u00e9elle) \/ valeur_r\u00e9elle<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Exercice 2 – Coud\u00e9e royale<\/h2>\n\n\n\n

On suppose que le diam\u00e8tre du cercle sur la figure ci-dessous est AB<\/strong> = 1. <\/p>\n\n\n\n

Q1.<\/strong> Calculez la valeur exacte puis approch\u00e9e de l\u2019arc BC<\/strong><\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/a><\/figure><\/div>\n\n\n\n

Q2.<\/strong> Recherchez sur Internet la longueur en cm<\/strong> de la coud\u00e9e<\/strong> royale<\/strong> \u00c9gyptienne, par exemple celle visible au mus\u00e9e de Turin<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Proposez, en m\u00e8tre, une valeur approch\u00e9e<\/strong> de la coud\u00e9e royale CR<\/strong> en utilisant \u03c0<\/strong> : <\/p>\n\n\n\n

CR \u2243 … m<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Le cercle ci-dessous a comme rayon 1 :<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/a><\/figure><\/div>\n\n\n\n

Q3.<\/strong> Calculez la longueur de l\u2019arc a<\/em><\/strong> pour que la somme totale<\/strong> des arcs de longueurs 1<\/strong>, \u03c0<\/strong> , \u03c6<\/strong> et a<\/em><\/strong> corresponde<\/strong> au p\u00e9rim\u00e8tre<\/strong> complet.<\/p>\n\n\n\n

Q4.<\/strong> V\u00e9rifiez par le calcul que : \u03c6 \u00b2<\/strong> = 1 + \u03c6<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Les valeurs de a<\/em><\/strong> et de BC<\/strong> (question 1) \u00e9tant proches, montrez que l\u2019on obtient l\u2019approximation :<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/a><\/figure><\/div>\n\n\n\n

V\u00e9rifiez \u00e0 la calculatrice (Pour aller plus loin, voir la fin du document).<\/p>\n\n\n\n

Exercice 3 – Pyramide et \u03c0<\/strong><\/h2>\n\n\n\n

On se donne un carr\u00e9<\/strong> de c\u00f4t\u00e9 1<\/strong> et un cercle<\/strong> de diam\u00e8tre<\/strong> d<\/strong> :<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/a><\/figure><\/div>\n\n\n\n

Q1.<\/strong> Quel diam\u00e8tre d<\/strong> doit avoir le cercle pour que les p\u00e9rim\u00e8tres<\/strong> des 2 figures soient identiques<\/strong> ?<\/p>\n\n\n\n

On construit maintenant une pyramide dont la base<\/strong> est le carr\u00e9 pr\u00e9c\u00e9dent<\/strong> et la hauteur<\/strong> est \u00e9gale au rayon du cercle pr\u00e9c\u00e9dent<\/strong> :<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/a><\/figure><\/div>\n\n\n\n

Q2.<\/strong> Calculez la valeur exacte puis approch\u00e9e de r<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n

Q3.<\/strong> Cette valeur \u00e9tant proche de la hauteur h<\/strong> trouv\u00e9e \u00e0 la question 2 de l\u2019exercice 1, en d\u00e9duire que :<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/a><\/figure><\/div>\n\n\n\n

V\u00e9rifiez \u00e0 la calculatrice (Pour aller plus loin, voir la fin du document).<\/p>\n\n\n\n

Q4.<\/strong> Montrez que le quotient<\/strong> du p\u00e9rim\u00e8tre<\/strong> de la base<\/strong> de cette pyramide par<\/strong> sa hauteur<\/strong> est \u00e9gal<\/strong> \u00e0 2\u03c0<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Q5.<\/strong> Dans le cas o\u00f9 le carr\u00e9 initial a un c\u00f4t\u00e9 \u00e9gal non plus \u00e0 1 mais \u00e0 la longueur 230,36 m (voir question 3 exercice 1), calculez d<\/em><\/strong> puis r<\/em><\/strong>. Comparez r<\/em><\/strong> \u00e0 sa valeur r\u00e9elle. V\u00e9rifiez que le quotient du p\u00e9rim\u00e8tre de la base de la pyramide de Kh\u00e9ops divis\u00e9 par sa hauteur est effectivement un nombre proche de 2\u03c0<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Vrais et faux triangles rectangles<\/h2>\n\n\n\n
\"\"<\/a><\/figure><\/div>\n\n\n\n

Q1.<\/strong> Montrez que le A<\/strong> est bien un triangle rectangle<\/p>\n\n\n\n

Q2.<\/strong> Montrez que le B<\/strong> n\u2019est pas<\/strong> un triangle rectangle<\/p>\n\n\n\n

Q3.<\/strong> Trouvez la valeur de x<\/em><\/strong> pour que B<\/strong> soit un triangle rectangle. V\u00e9rifiez \u00e0 la calculatrice que cette valeur est assez proche de \u03c0 \/ 4<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Exercice 4 – Syst\u00e8me d\u2019\u00e9quations<\/h2>\n\n\n\n

Q1.<\/strong> Trouvez les longueurs<\/strong> (en bleu<\/strong> et en noir<\/strong>) telles que :<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/a><\/figure><\/div>\n\n\n\n

Q2.<\/strong> Quelles valeurs doit-on mettre dans la partie droite du syst\u00e8me<\/strong> d’\u00e9quations<\/strong> si on multiplie les longueurs en bleu et en noir trouv\u00e9es pr\u00e9c\u00e9demment par un coefficient k<\/strong> ?<\/p>\n\n\n\n

Q3.<\/strong> Pour quelle valeur de k<\/strong> les dimensions de la pyramide de Kh\u00e9ops v\u00e9rifient-elles (\u00e0 peu pr\u00e8s) ce syst\u00e8me ?<\/p>\n\n\n\n

Fractions continues<\/h2>\n\n\n\n

L\u2019approximation \u03c6 \u00b2<\/strong><\/strong> \u2243<\/strong> 5\u03c0 \/ 6<\/strong> n\u2019est pas si fantaisiste que cela puisqu\u2019en d\u00e9composant \u03c6 \u00b2<\/strong><\/strong> \/<\/strong> \u03c0<\/strong> en fraction continue (avec la commande dfc<\/strong> de Xcas<\/strong> par exemple), on obtient :<\/p>\n\n\n\n

\u03c6 \u00b2 \/ \u03c0 = [0, 1, 5, 2175, 2, 8, …]<\/strong><\/p>\n\n\n\n

C\u2019est-\u00e0-dire qu\u2019en premi\u00e8re approximation, la meilleure fraction est :<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/a><\/figure><\/div>\n\n\n\n

De m\u00eame \u03c0.\u221a\u03d5 = [3,1,259,1,13,1,2,1,4,1\u2026]<\/strong>, c’est-\u00e0-dire que \u03c0.\u221a\u03d5 \u2243 3 + 1 \/ 1 = 4<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Corrig\u00e9 rapide<\/h2>\n\n\n\n
\"\"<\/a><\/figure><\/div>\n\n\n\n
\"\"<\/a><\/figure><\/div>\n\n\n\n
\"\"<\/a><\/figure><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

A t\u00e9l\u00e9charger : Enonc\u00e9 et corrig\u00e9 au format Word Exercice 1 – Pyramide et nombre d’or Ci-dessous un carr\u00e9 de c\u00f4t\u00e9 AB = 1. On ajoute 4 triangles isoc\u00e8les de hauteur CD. Q1. Trouvez la longueur CD telle que l\u2019aire … Continuer la lecture →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":4913,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-834","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.univ-angers.fr\/mathsinfo\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/834","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.univ-angers.fr\/mathsinfo\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.univ-angers.fr\/mathsinfo\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.univ-angers.fr\/mathsinfo\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4913"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.univ-angers.fr\/mathsinfo\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=834"}],"version-history":[{"count":15,"href":"https:\/\/blog.univ-angers.fr\/mathsinfo\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/834\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1078,"href":"https:\/\/blog.univ-angers.fr\/mathsinfo\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/834\/revisions\/1078"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.univ-angers.fr\/mathsinfo\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=834"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}